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9 de jun de 2015

Resumo: "O sistema de numeração: um problema didático" - LERNER, Delia; SADOVSKY, Patrícia. In: PARRA, Cecília (Org.). “Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas”.

Simulado

Resumo: "O sistema de numeração: um problema didático" - LERNER, Delia; SADOVSKY, Patrícia. In: PARRA, Cecília (Org.). “Didática da Matemática: reflexões psicopedagógicas”. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996. p. 73-155.

Como e porque se iniciou a pesquisa sobre a aquisição da noção de número.

A  relação  entre  os  grupamentos  e  a  escrita  numérica  tem  sido  um  problema para as crianças nas experiências escolares o que tem levado pesquisadores e educadores  realizarem  esforços,  com experimentos  de  recursos  didáticos diversos, para tornar real a noção de agrupamentos numéricos às crianças nas series  iniciais.  A  gravidade  do  problema  foi  detectada  através  de  entrevistas com crianças  que  não  eram  trabalhadas  nos  programas  que  usavam  estes recursos.

Elas utilizavam métodos convencionais nas operações de adição e subtração (vai  um)  sem  entenderem  os conceitos  de  unidades,  dezenas  e  centenas. Mesmo  naquelas  que  pareciam  acertar,  não demonstravam  entender  os algarismos  convencionais  na  organização  de  nosso  sistema  de  numeração. (Lerner,D 1992).

As dificuldades foram detectadas e analisadas em crianças de vários países. Chamou a atenção dos pesquisadores o fato das crianças não entenderem os princípios do sistema numérico. Foi verificado que as práticas pedagógicas não consideravam os aspectos sociais e históricos vividos pelas crianças, ou seja, o  dia-dia  que  traziam  para  escola  não  era  importante  quando os  alunos chegavam à escola, e mesmo no decorrer do ano letivo; a preocupação estava centrada apenas na fixação da representação gráfica.

Era necessário compreender o caminho mental que essas crianças percorriam para adquirirem este conhecimento. Para tornar claro esse fenômeno, iniciaram pela elaboração de situações didáticas. Assim foi necessário testá-las em aula para  descobrir  os  aspectos  relevantes  para  as  crianças  no  sistema  de numeração, tais como: as ideias elaboradas sobre os números, formulação de problemas e conflitos existentes.

Foi por meio de entrevistas com as crianças de 5 a 8 anos que se esclareceu o caminho  que percorrem,  de forma  significativa,  na  construção  de conceito  de número.   Através   das   ideias,   justificações   e   conflitos   demonstrados   nas respostas foi possível traçar novas linhas de trabalho didático.

II - História dos conhecimentos que as crianças elaboram a respeito da numeração escrita

A pergunta levantada pelos pesquisadores é: como as crianças compreendem e interpretam os conhecimentos vivenciados no seu cotidiano no meio social-familiar  de  utilização  da  numeração  escrita? A  hipótese  era  que  as  crianças elaboram  critérios  próprios  para  produzir  representações  numéricas e que a construção  da  notação  convencional  não  segue  a  ordem  da  sequência numérica.

Para  buscar  a  resposta  às  hipóteses  levantadas,  situações  experimentais, através de jogos foram projetadas e relacionadas à comparação de números. Através das respostas das crianças entrevistadas chegou-se a suposição que elas elaboram uma hipótese de "quanto maior a quantidade de algarismos de 
um número, maior é o número", ou "primeiro número é quem manda".

As  crianças  usam  como  critério  de  comparação  de  números  maiores  ou menores  elaborando  a partir da  interação  com  a  numeração  escrita,  quando ainda  não  conhecem  a  denominação  oral  dos números  que  comparam.  Ao generalizarem  estes  critérios,  outras  crianças  mostraram  dificuldades com afirmações contraditórias quando afirmavam que "o numeral 112 é maior que 89,  por  que  tem  mais  números,  mas  logo  muda  apontando  para  o  89  como maior por que - 8 mais 9 é 17 -, então é mais."

Assim  concluiu-se  que  a  elaboração  de  critério  de  comparação  é  importante para a compreensão da numeração escrita.(p. 81).

A posição dos algarismos como critério de comparação ou "o primeiro é quem manda"

Um dos argumentos usados pelas crianças respondentes é que ao comparar os  números  com  a  mesma quantidade  de  algarismos,  diziam  que,  a  posição dos  algarismos  é  determinada  pela  função  no sistema  de  números  (por exemplo:  que  31  é  maior  que  13  por  que  o  3  vem  primeiro).  Assim  elas descobrem que além da quantidade de algarismos, a magnitude do número é outra característica específica dos sistemas posicionais.  Tais   respostas   não  são   precedidas   de  conhecimentos  das   razões   que originaram as variações.Para  as  crianças  da  1ª série  que  ainda  não  conhecem  as  dezenas,  mas conseguem ver a magnitude do número, fazem a seguinte comparação: o 31 é maior porque o 3 de 31 é maior que o 2 do 25.
Assim  "os  dados  sugerem  que  as  crianças  se  apropriam  primeiro  da  escrita convencional da potência de base."

Papel da numeração falada

Os conceitos elaborados pelas crianças a respeito dos números são baseados na numeração falada e em seu conhecimento descrita convencional dos "nós". 

"Para  produzir  os  números  cuja  escrita  convencional ainda  não  haviam adquirido,  as  crianças misturavam  os  símbolos  que  conheciam  colocando-os de  maneira  tal,  que  se  correspondiam  com  a ordenação  dos  termos  na numeração  falada"  (p.92).  Sendo  assim,  ao  fazerem  comparações  de  sua escrita,  o  fazem  como  resultado  de  uma  correspondência  com  a  numeração falada, e por ser esta não posicional.

"Na numeração falada a justaposição de palavras supõe sempre uma operação aritmética de soma ou de multiplicação - elas escrevem um número e pensam no valor total desse número. Como exemplo: duzentos e cinquenta e quatro  - escrevem  somando  200+  50+  4  ou  200504  e  quatro  mil  escrevem  41000-dando a ideia de multiplicação".

A numeração escrita regular é mais fechada que a numeração falada. É regular porque a soma e a multiplicação, são utilizadas sempre pela multiplicação de cada  algarismo  pela  potência  da  base correspondente,  e  se  somam  aos produtos  que  resultam  dessas  multiplicações."  É  fechada  porque  não  existe nenhum   vestígio   das   operações   aritméticas   racionais   envolvidas,  sendo deduzidas a partir da posição que ocupam os algarismos.

Ex: 4815 = 4x 10³+ 8x10²+ 1x 10¹+ 5x10.

Através  destes  insipientes  resultados  acima  citados,  é  possível  deduzir  "uma possível  progressão  nas correspondências  entre  o  nome  e  a  notação  do número  até  a  compreensão  das  relações aditivas  e multiplicativas  envolvidas na numeração falada".

As crianças que realizam a escrita não-convencional o fazem a semelhança da numeração  falada,  pois demonstraram  em  suas  escritas  numéricas  que  as diferentes modalidades de produção coexistem para os números posicionados em  diferentes  intervalos  da  sequência  ao  escreverem  qualquer  número convencionalmente  com  dois  ou  três  algarismo  em  correspondência  com  a forma  oral.  Exemplo: podem  escrever  cento  e  trinta  e  cinco  em  forma convencional  (135),  mas  representam  mil  e  vinte  e cinco  da  seguinte  forma: 100025.   Mesmo   aquelas   crianças   que   escrevem   convencionalmente   os números  entre  cem  e  duzentos,  podem  não  generalizar  esta  modalidade  a outras  centenas.  Por exemplo,  escrevem  80094  (oitocentos  e  noventa  e quatro).

Assim é que a relação numeração fala/numeração escrita não é unidirecional. Observa-se também que a numeração falada intervém na conceitualização da escrita numérica.

O  que  parece  é  que  algumas  crianças  demonstram  que  utilizam  um  critério para  elaborar  a numeração  escrita.  Assim  acham  que  mil  e  cem  e  cem  mil sejam a mesma coisa, pois elaboram o elemento símbolo, qualificação e não quantificação.  Desta  forma  as  crianças  apropriam-se progressivamente  da escrita  convencional  dos  números  a  partir  da  vinculação  com  a  numeração falada. Mas  pergunta-se,  como  fazem  isto?  Elas  supõem  que  a  numeração escrita se vincula estritamente à numeração falada, e sabem também que em nosso  sistema  de numeração  a  quantidade  de  algarismos  está  relacionada à magnitude do número representado.

Do conflito à notação convencional

Há   momentos   em   que   a   criança   manipula   a   contradição   entre   suas conceitualizações  sem conflito. Às  vezes  centram-se  exclusivamente  na quantidade de algarismos das suas escritas que produziram, e parece ignorar qualquer  outra  consideração a  respeito do valor  dos  números representados. Assim também parece claro que não é suficiente conhecer o valor dos números para tomar consciência do conflito entre quantidade de número e a numeração falada.

Em  outros momentos  a  criança  parece  alternar os sistemas  de conceitualizações dos números. Em outro momento, o conflito aparece, pois ao vincular  a  criança  a  numeração  falada  na  produção  da escrita,  mostra-se insatisfeita achando que é muito algarismo.

Exemplo: Ao pedir-se para escreverem seis mil trezentos e quarenta e cinco, fazem 600030045. Ao mesmo tempo escrevem 63045. Isto mostra que nesse momento encontra-se em conflito pela aproximação da escrita convencional e a falada.

O conflito é percebido após compararem e corrigirem a escrita numérica feita por eles mostrando uma solução mais ou menos satisfatória.

É  percebido  que  pouco  a  pouco  a  criança  vai  tomando  consciência  das contradições  procurando superar o conflito,  mas  sem  saber  como;  pouco a pouco  através  da  re-significação  da  relação  entre a escrita  e  a  numeração falada  elaboram  ferramentas  para  superar  o  conflito.  Essa  parece  ser  uma 
importante etapa para progredir na escrita numérica convencional. Portanto, as crianças  produzem  e interpretam  escritas  convencionais  antes  de  poder justificá-las através da "lei de agrupamento recursivo".

Sendo  assim  torna-se  importante  no  ensino  da  matemática  considerar  a natureza do objeto de conhecimento como valorizar as conceitualizações das crianças à luz das propriedades desse objeto.

III - Relações entre o que as Crianças sabem e a organização posicional do sistema de numeração.

Devido a convivência com a linguagem numérica não percebemos a distinção entre  a  propriedade  dos números  e  a  propriedade  da  notação  numérica,  ou seja, das propriedades do sistema que usamos para representá-lo.

As propriedades dos números são universais, enquanto que as leis que regem os  diferentes  sistemas  de  numeração  não  o  são.  Por  exemplo:  oito  é  menor que dez é um conceito universal, pois em qualquer lugar, tempo ou cultura será assim. O que muda é a justificativa para esta afirmação, pois varia de acordo com  os  sistemas  qualitativos  e  quantitativos  dos  números  ou  posicionai  dos algarismos.

A posicionalidade é responsável pela relação quantidade de algarismos e valor do números.

A criança começa  pela  detecção  daquilo  que  é  observável no contexto da interação social e a partir deste ponto os números são baseados na numeração falada e em seu conhecimento da escrita convencional ("dos nós").

IV - Questionamento do enfoque usualmente adotado para o sistema de numeração

O  ensino  da  notação  numérica  pode  ter  modalidade  diversa  como:  trabalhar passo a passo através da administração de conhecimento de forma "cômoda quotas anuais"  - metas definidas por série  - ou através do saber socialmente estabelecido.

Pergunta-se:  é  compatível  trabalhar  com  a  graduação  do  conhecimento?  Ou seja, traçar um caminho de início e fim, determinado pelo saber oficial? E qual é o saber oficial? E o que se estar administrando de conhecimento numérico nas aulas?

O processo passo a passo e aperfeiçoadamente, não parece compatível com a natureza  da  criança,  pois elas  pensam  em  milhões  e  milhares,  elaboram critérios de comparação  fundamentados  em  categorias. Podem  conhecer números grandes e não saber lidar com os números menores.

Os  procedimentos  que  as  crianças  utilizam  para  resolver  as  operações  tem vantagens que não podem ser depreciadas se comparadas com procedimentos usuais da escola.

No esforço  para  alcançar  a  compreensão  das  crianças  no  sistema  de numeração  e  não  a  simples memorização  é  que  muitos  educadores leem utilizado diferentes recursos para materializar o grupamento numérico. Alguns utilizam sistemas de códigos para traduzir símbolos dando a cada grupamento uma  figura diferente como,  triângulo  para  potências  de  10, quadradinho  para potências  de  100,  ou  a  semelhança do sistema  egípcio  para  trabalhar a posicionalidade de, um número ou empregam o ábaco como estratégia para as noções   de   agrupar   e   reagrupar   a   fim  de   levar  a   compreensão da posicionalidade.

No entanto todos  estes  pressupostos não  são  viáveis por  razões  próprias da natureza  da  criança, como também  considerando  o  ambiente  social,  no  qual convivem com os números.

As  crianças  buscam  desde  cedo  a  notação  numérica.  Querem  saber  o  mais cedo  possível,  como funciona,  para  que  serve,  como  e  quando  se  usa. Inicialmente,  não  se  interessam  pela  compreensão dos  mesmos  e  sim  pela sua utilidade. Dessa forma, a compreensão passa a ser o ponto de chegada e não de partida.

Outro  problema  com  as  aulas  de  aritmética  é  que  os  professores  oferecem respostas para aquilo que as crianças não perguntam e ainda ignoram as suas perguntas e respostas.

V - Mostrando a vida numérica da aula

O ensino do sistema de numeração como objeto de estudo passa por diversas etapas, definições e redefinições, para então, ser devidamente compreendida.

Usar  a  numeração  escrita  envolve  produção  e  interpretação  das  escritas numéricas,  estabelecimento de  comparações  como  apoio  para  resolver  ou representar operações.

Inicialmente  o  aprendiz,  ao  utilizar  a  numeração  escrita  encontra  problemas que  podem  favorecer  a melhor compreensão  do  sistema,  pois  através  da busca de soluções torna possível estabelecer novas relações; leva à reflexões, argumentações,  a  validação  dos  conhecimentos  adquiridos,  e  ao  inicio  da 
compreensão das regularidades do sistema.

O sistema de numeração na aula.

A  seguir  serão  discutidas  algumas  ideias  sobre  os  princípios  que  orientam  o trabalho  didático  através  da  reflexão  da  regularidade  no  uso  da  numeração escrita.

As regularidades aparecem como justificação das respostas e dos procedimentos utilizados pelas crianças ou como descobertas, necessários para tornar possível a generalização, ou a elaboração de procedimentos mais econômicos. P.117

Assim, a análise das regularidades da numeração escrita é uma fonte de insubstituível no progresso da compreensão das leis do sistema. 

O uso da numeração escrita como ponto de partida para a reflexão deve, desde o inicio ser trabalhada com os diferentes intervalos da sequência numérica, através de trabalho com problemas, com a numeração escrita desafiadora para a condução de resoluções, de forma que cada escrita se construa em função das relações significativas que mantem com as outras. Os desafios e argumentações levam as crianças serem capazes de resolver situações-problema que ainda não foram trabalhadas e à socialização do conhecimento do grupo.

As experiências nas aulas são de caráter provisório, às vezes complexas, mas são inevitáveis, porque no trabalho didático é obrigado a considerar a natureza do sistema de numeração como processo de construção do conhecimento.No  trabalho  de  ensinar  e  aprender  um  sistema  de  representação  será necessário  criar  situações  que  permitam  mostrar  a  organização  do  sistema, como ele funciona e quais suas propriedades, pois o sistema de numeração é carregado de significados numéricos como, os números, a relação de ordem e as  operações  aritméticas.  Portanto  comparar  e  operar,  ordenar,  produzir  e interpretar, são os eixos principais para a organização das situações didáticas propostas.

Situações didáticas vinculadas à relação de ordem

O  entendimento  do  sistema  decimal  posicionai  está  diretamente  ligada  a relação   de   ordem.   Por   isto   as   atividades   devem   estar   centradas   na comparação,  vinculada  à  ordenação  do  sistema. Alguns  exemplos  podem melhorar  o  entendimento  dessas  relações,  são  elas:  simulação  de  uma  loja 
para  vender  balas,  em  pacotes  de  diferentes  quantidades.  Ao  sugerir  que  as crianças  decidam  qual o  preço  de  cada  tipo  de  pacote,  estarão  fazendo comparações   em   conjunto   com   os   colegas,   notações,   comparam   as divergências,  argumentam  e  discutem  as  ideias,  orientadas  por  uma  lógica. 
Assim os critérios de comparação podem não ser colocados imediatamente em ação  por  todas  as crianças,  pois  algumas  irão  realizar  com  maior  ou  menor esforço  o  ordenamento,  outras  ordenam parcialmente  alguns  números,  e  os demais  se  limitam  a  copiar  a  que  os  outros  colegas  fizeram. Todos  nesta atividade se interagem. Os primeiros tem a oportunidade de fundamentar sua produção  e conceitualizar  os  recursos  que  já  utilizavam.  As  crianças  que ordenam parcialmente aprendem ao longo da situação, levantam perguntas e confirmam as ideias que não tinham conseguido associar. As crianças que não exteriorizaram   nenhuma   resposta,   também   se   indagam   e   podem   obter respostas  que  não tinham  encontrado.  As  crianças  que  se  limitam  copiar,  é importante  que  o  professor  as  estimule com intervenções  orientadas  para desenvolver  nelas  o  trabalho  autônomo.  Também  devem  ser  estimuladas a perguntarem  a  si  mesmas  antes  de  ir  aos  outros,  recorrer  ao  que  sabem  e descobrir  seus próprios conhecimentos,  e  que  são  capazes  de  resolver  os problemas. Enfim, deve ser incentivada a autonomia.

Uma segunda experiência é aquela que pode usar materiais com numeração sequencial com fita métrica, régua, paginação de livros, numeração das casas de  uma  rua.  Todas  estas  atividades  ajudam  as  crianças  buscarem  por  si mesmas as informações que precisam.

No trabalho conjunto todas as crianças leem oportunidade de aprender, mesmo que em ritmos diferentes, aprendem com o trabalho cooperativo na construção do conhecimento.

Outra  proposta  de  atividade  pode  ser  direcionada  a  interpretação  da  escrita numérica  no  contexto de  uso  social  do  cotidiano  de  cada  uma.  Pode  ser realizado através de: comparação de suas idades, de preços, datas, medidas e outras.   Experiências   como:   formar   lista   de   preços,   fazer   notas   fiscais, inventariar mercadorias, etc. Através de experiências semelhantes, é possível levar  as  crianças considerar  a  relevância  da  relação  de  ordem  numérica.  As atividades desenvolvidas produzem efeito no sentido de modificar a escrita, ou da interpretação originalmente realizada. A longe prazo, devem ser capazes de montar e utilizar estratégias de relação de ordem para resolver problemas de produção e interpretação.

Se  nas  atividades  a  professora  detecta  que  determinado  número  leem diferentes notações  na  turma, deve  trabalhar  com  argumentações  até  que cheguem a interpretação correta.

Percebe-se através dos argumentos  utilizados  pelas  crianças  a  busca  pela relação   de   ordem,   mesmo naquelas   que   utilizaram   anotações  não convencionais, a ponto de transformarem a partir de sucessivas discussões e objeções que elas fazem a si próprias.

A relação numeração falada/numeração escrita é um caminho que as crianças transitam   em   duas   direções:   da   sequência   oral   como   recurso para compreensão da escrita numérica e como sequência da escrita como recurso para reconstruir o nome do número.

Para isso é  importante  desenvolver  atividades  que  favoreçam  a  aplicação de regularidade  podendo ser observado  nas  situações  de  comparação,  de produção ou interpretação.

Mas  pergunta-se:  quais  as  regularidades  necessárias  trabalhar  na  contagem dos números? Estabelecer as regularidades tem o objetivo de tornar possível a formulação  de  problemas  dirigidos  às  crianças,  mas também  para  que adquiriram ferramentas para auto-criticar as escritas baseadas    na correspondência  com  a  numeração  falada  e  na  contagem  dos  números. Exemplo: as dezenas com dois algarismos, as centenas com três algarismos. Depois do nove vem o zero e passa-se para o número seguinte
Como  intervir  para  que  as  crianças  avancem  na  manipulação  da  sequência oral?  Pode-se  sugerir  as crianças  que  procurem  um  material  que  tenha sequência correspondente e descubra-se por si mesma a regularidade. Buscar nos  números  de  um  a  cem  quais  os  que  terminam  em  nove,  identificar  e nomear os números seguintes do nove. Esta é uma atividade de interpretação e  tão  importante  quanto  a produção  na  contagem  dos  números.  Exemplo: Como  descobrir  as  semelhanças  e  diferenças  entre os  números  de  um  a quarenta.  Localizar  em  todos  os  números  de  dois  dígitos  que  terminam  em 
nove  e  anotar  qual  é  o  seguinte  de  cada  um  deles.  Esta  atividade  pode  ser encontrada em materiais como calendário, régua e fita métrica.

Um  critério  importante  para  trabalhar  é  estabelecer  primeiro  as  regularidades para um determinado intervalo. A partir daí passar a sua generalização através do  uso  de  materiais  que  contenham  números maiores.  Só então o indivíduo começa a questionar o seu significado.

As crianças são capazes de inventar algarismos próprios e colocam em jogo as propriedades das operações como conhecimento implícito sobre o sistema de numeração, importante para descobrir as leis que regem o sistema. Ao estudar o  que  acontece  quando  se  realizam  as  somas  é  possível   estabelecer regularidades referentes ao que muda e ao que se conserva.

As atividades como colocar preços em artigos de lojas, contar notas de dez em dez, fazer lista de preço, colocar novos preços aos que já tem, contar livros das prateleiras  das  estantes  de  uma  biblioteca,  e  ao comparar  a  numeração  das páginas  de  um  jornal,  é  possível  analisar  o  que  transforma  nos  números quando lhes soma dez, utilizar dados nos aspectos multiplicativos em que cada ponto  do  dado  vale  dez  e vão  anotando  a  pontuação  de  cada  um  dos participantes  do  grupo.  A  partir  desta  atividade  são levadas  a  refletir  sobre  o que fizeram e sobre a função multiplicativa e relacioná-la com a interpretação aditiva.  Desta  forma,  levá-los  a  uma  maior  compreensão  do  valor  posicional. Através de diferentes comparações estabelecem regularidades numéricas para os dezes e os cens e refletir sobre a organização do sistema.

As crianças tem oportunidade de formular regras e leis para as operações com números e concentram nas representações numéricas.

Na  segunda  série  a  calculadora  pode  ser  introduzida,  desde  que  de  forma adequada,  pois  leva  as crianças  aprofundarem  suas  reflexões, tomarem consciência  das  operações  numéricas  e  torna  possível que  cada  um  detecte por si mesma quando é que estão corretas e o que não está certo, auto-corrija os erros  e  formule  regras  que  permitam  antecipar  a  operação  que  levará  ao resultado procurado.

Assim, refletir sobre o sistema de numeração e sobre as operações aritméticas levam  as  crianças  a formularem  leis  para  acharem  procedimentos  mais econômicos.  Leva  a  indagações  das  razões  das regularidades  de  forma significativa.   Busca   resposta   para   organizar   os   sistemas,   para   novas 
descobertas da numeração escrita.

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